Lutasin ang {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=24$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=100$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y+100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y+100.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

I-substitute ang -\frac{y}{4}+25 para sa x sa kabilang equation na 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

I-multiply ang 2 times -\frac{y}{4}+25.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 2y.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

I-subtract ang 50 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+25. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times 4.

$$x=-1+25$$

Idagdag ang 25 sa -1.

$$x=24$$

Nalutas na ang system.

$$x=24,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=24,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

Pasimplehin.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

I-subtract ang 8x+8y=224 mula sa 8x+2y=200 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-8y=200-224$$

Idagdag ang 2y sa -8y.

$$-6y=200-224$$

Idagdag ang 200 sa -224.

$$-6y=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 2x+2y=56. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+2\times 4=56$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$2x+8=56$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=24$$

Nalutas na ang system.

$$x=24,y=4$$