Lutasin ang {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=-7$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y-7}{4} para sa x sa kabilang equation na 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

I-multiply ang 2 times \frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{15}{11}$$

I-substitute ang -\frac{15}{11} para sa y sa x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -\frac{15}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Idagdag ang -\frac{7}{4} sa \frac{15}{44} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Pasimplehin.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

I-subtract ang 8x+24y=-44 mula sa 8x+2y=-14 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-24y=-14+44$$

Idagdag ang 2y sa -24y.

$$-22y=-14+44$$

Idagdag ang -14 sa 44.

$$-22y=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

I-substitute ang -\frac{15}{11} para sa y sa 2x+6y=-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

I-multiply ang 6 times -\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Idagdag ang \frac{90}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$