Lutasin ang {l}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+5y=6$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-5y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} para sa x sa kabilang equation na x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

Idagdag ang -\frac{5y}{4} sa 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{23}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{6}{23}$$

I-substitute ang \frac{6}{23} para sa y sa x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{4} times \frac{6}{23} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa -\frac{15}{46} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{27}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Pasimplehin.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

I-subtract ang 4x+28y=12 mula sa 4x+5y=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-28y=6-12$$

Idagdag ang 5y sa -28y.

$$-23y=6-12$$

Idagdag ang 6 sa -12.

$$-23y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

I-substitute ang \frac{6}{23} para sa y sa x+7y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

I-multiply ang 7 times \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

I-subtract ang \frac{42}{23} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{27}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$