Lutasin ang {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+5y=2$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-5y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5y+2.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

I-multiply ang 3 times -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

Idagdag ang -\frac{15y}{4} sa 4y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{4} times -2.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{5}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

Pasimplehin.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

I-subtract ang 12x+16y=4 mula sa 12x+15y=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-16y=6-4$$

Idagdag ang 15y sa -16y.

$$-y=6-4$$

Idagdag ang 6 sa -4.

$$-y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 3x+4y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

I-multiply ang 4 times -2.

$$3x-8=1$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$