Lutasin ang {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{-5y+1}{4} para sa x sa kabilang equation na 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

I-multiply ang 5 times \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Idagdag ang -\frac{25y}{4} sa -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

I-subtract ang \frac{5}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{53}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1}{53}$$

I-substitute ang \frac{1}{53} para sa y sa x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

I-multiply ang -\frac{5}{4} times \frac{1}{53} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa -\frac{5}{212} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{12}{53}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Pasimplehin.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

I-subtract ang 20x-28y=4 mula sa 20x+25y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$25y+28y=5-4$$

Idagdag ang 25y sa 28y.

$$53y=5-4$$

Idagdag ang 5 sa -4.

$$53y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

I-substitute ang \frac{1}{53} para sa y sa 5x-7y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

I-multiply ang -7 times \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Idagdag ang \frac{7}{53} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{60}{53}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$