Lutasin ang {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+5y=0$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-5y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

I-substitute ang -\frac{5y}{4} para sa x sa kabilang equation na 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

I-multiply ang 8 times -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Idagdag ang -10y sa -15y.

$$-25y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -25.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa x=-\frac{5}{4}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

I-multiply ang -\frac{5}{4} times \frac{1}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

I-subtract ang 32x-60y=-20 mula sa 32x+40y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40y+60y=20$$

Idagdag ang 40y sa 60y.

$$100y=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 100.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa 8x-15y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

I-multiply ang -15 times \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$