Lutasin ang {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+2y=18$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-2y+18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+9}{2} para sa x sa kabilang equation na -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

I-multiply ang -3 times \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Idagdag ang \frac{27}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa \frac{9}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=9,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Pasimplehin.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

I-subtract ang -12x-24y=108 mula sa -12x-6y=-54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y+24y=-54-108$$

Idagdag ang -6y sa 24y.

$$18y=-54-108$$

Idagdag ang -54 sa -108.

$$18y=-162$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa -3x-6y=27. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

I-multiply ang -6 times -9.

$$-3x+54=27$$

I-subtract ang 54 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=-9$$