Lutasin ang {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+2y=12$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-2y+12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+3 para sa x sa kabilang equation na 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

I-multiply ang 7 times -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Idagdag ang -\frac{7y}{2} sa 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{29}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{4}{29}$$

I-substitute ang -\frac{4}{29} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -\frac{4}{29} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Idagdag ang 3 sa \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Pasimplehin.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

I-subtract ang 28x+72y=76 mula sa 28x+14y=84 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Idagdag ang 28x sa -28x. Naka-cancel out ang term na 28x at -28x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$14y-72y=84-76$$

Idagdag ang 14y sa -72y.

$$-58y=84-76$$

Idagdag ang 84 sa -76.

$$-58y=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

I-substitute ang -\frac{4}{29} para sa y sa 7x+18y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

I-multiply ang 18 times -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Idagdag ang \frac{72}{29} sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=\frac{623}{29}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$