Lutasin ang {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a_{1} sa pamamagitan ng pag-isolate sa a_{1} sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4a_{1}+6d=3$$

I-subtract ang 6d mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4a_{1}=-6d+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

I-substitute ang -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} para sa a_{1} sa kabilang equation na 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Idagdag ang -\frac{9d}{2} sa 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

I-subtract ang \frac{9}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{33}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$d=\frac{7}{66}$$

I-substitute ang \frac{7}{66} para sa d sa a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a_{1} nang direkta.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{7}{66} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa -\frac{7}{44} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a_{1} at d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Para gawing magkatumbas ang 4a_{1} at 3a_{1}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Pasimplehin.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

I-subtract ang 12a_{1}+84d=16 mula sa 12a_{1}+18d=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Idagdag ang 12a_{1} sa -12a_{1}. Naka-cancel out ang term na 12a_{1} at -12a_{1} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18d-84d=9-16$$

Idagdag ang 18d sa -84d.

$$-66d=9-16$$

Idagdag ang 9 sa -16.

$$-66d=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

I-substitute ang \frac{7}{66} para sa d sa 3a_{1}+21d=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a_{1} nang direkta.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

I-multiply ang 21 times \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

I-subtract ang \frac{49}{22} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$