Lutasin ang {l}{300=40k+b}{150=55k+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 300 = 40 k + b } \\ { 150 = 55 k + b } \end{array} \right.$$

I-solve ang k, b

$$k=-10$$

$$b=700$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$40k+b=300$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$55k+b=150$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa k sa pamamagitan ng pag-isolate sa k sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$40k+b=300$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40k=-b+300$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$k=\frac{1}{40}\left(-b+300\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{40} times -b+300.

$$k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}$$

I-substitute ang -\frac{b}{40}+\frac{15}{2} para sa k sa kabilang equation na 55k+b=150.

$$55\left(-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}\right)+b=150$$

I-multiply ang 55 times -\frac{b}{40}+\frac{15}{2}.

$$-\frac{11}{8}b+\frac{825}{2}+b=150$$

Idagdag ang -\frac{11b}{8} sa b.

$$-\frac{3}{8}b+\frac{825}{2}=150$$

I-subtract ang \frac{825}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{8}b=-\frac{525}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=700$$

I-substitute ang 700 para sa b sa k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang k nang direkta.

$$k=-\frac{1}{40}\times 700+\frac{15}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{40} times 700.

$$k=\frac{-35+15}{2}$$

Idagdag ang \frac{15}{2} sa -\frac{35}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k=-10$$

Nalutas na ang system.

$$k=-10,b=700$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$40k+b=300$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$55k+b=150$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40-55}&-\frac{1}{40-55}\\-\frac{55}{40-55}&\frac{40}{40-55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\\\frac{11}{3}&-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 300+\frac{1}{15}\times 150\\\frac{11}{3}\times 300-\frac{8}{3}\times 150\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\700\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na k at b.

$$k=-10,b=700$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$40k+b=300$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$55k+b=150$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

I-subtract ang 55k+b=150 mula sa 40k+b=300 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40k-55k+b-b=300-150$$

Idagdag ang b sa -b. Naka-cancel out ang term na b at -b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40k-55k=300-150$$

Idagdag ang 40k sa -55k.

$$-15k=300-150$$

Idagdag ang 300 sa -150.

$$-15k=150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$k=-10$$

I-substitute ang -10 para sa k sa 55k+b=150. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$55\left(-10\right)+b=150$$

I-multiply ang 55 times -10.

$$-550+b=150$$

Idagdag ang 550 sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=700$$

Nalutas na ang system.

$$k=-10,b=700$$