Lutasin ang {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6-x=0$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3y-x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-9-2y=0$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-2y=9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3y-x=6$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=x+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

I-substitute ang \frac{x}{3}+2 para sa y sa kabilang equation na -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

I-multiply ang -2 times \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Idagdag ang -\frac{2x}{3} sa x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}x=13$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=39$$

I-substitute ang 39 para sa x sa y=\frac{1}{3}x+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 39.

$$y=13+2$$

Idagdag ang 2 sa 13.

$$y=15$$

Nalutas na ang system.

$$y=15,x=39$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6-x=0$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3y-x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-9-2y=0$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-2y=9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=15,x=39$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6-x=0$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3y-x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-9-2y=0$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$x-2y=9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Para gawing magkatumbas ang 3y at -2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Pasimplehin.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

I-subtract ang -6y+3x=27 mula sa -6y+2x=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Idagdag ang -6y sa 6y. Naka-cancel out ang term na -6y at 6y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-3x=-12-27$$

Idagdag ang 2x sa -3x.

$$-x=-12-27$$

Idagdag ang -12 sa -27.

$$-x=-39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=39$$

I-substitute ang 39 para sa x sa -2y+x=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-2y+39=9$$

I-subtract ang 39 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=15$$

Nalutas na ang system.

$$y=15,x=39$$