Lutasin ang {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$2x+y=7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3y-6x=-3$$

Idagdag ang 6x sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=6x-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 6x-3.

$$y=2x-1$$

I-substitute ang 2x-1 para sa y sa kabilang equation na y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

Idagdag ang 2x sa 2x.

$$4x-1=7$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=2x-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\times 2-1$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$y=4-1$$

Idagdag ang -1 sa 4.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$y=3,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$2x+y=7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=3,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-6x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$2x+y=7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3y at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

I-subtract ang 3y+6x=21 mula sa 3y-6x=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6x-6x=-3-21$$

Idagdag ang -6x sa -6x.

$$-12x=-3-21$$

Idagdag ang -3 sa -21.

$$-12x=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y+2x=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+2\times 2=7$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$y+4=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$y=3,x=2$$