Lutasin ang {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3y+x=31$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-x+31$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

I-substitute ang \frac{-x+31}{3} para sa y sa kabilang equation na 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

I-multiply ang 2 times \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Idagdag ang -\frac{2x}{3} sa 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

I-subtract ang \frac{62}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=10$$

I-substitute ang 10 para sa x sa y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Idagdag ang \frac{31}{3} sa -\frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=7$$

Nalutas na ang system.

$$y=7,x=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=7,x=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Para gawing magkatumbas ang 3y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Pasimplehin.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

I-subtract ang 6y+9x=132 mula sa 6y+2x=62 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Idagdag ang 6y sa -6y. Naka-cancel out ang term na 6y at -6y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-9x=62-132$$

Idagdag ang 2x sa -9x.

$$-7x=62-132$$

Idagdag ang 62 sa -132.

$$-7x=-70$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=10$$

I-substitute ang 10 para sa x sa 2y+3x=44. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y+3\times 10=44$$

I-multiply ang 3 times 10.

$$2y+30=44$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=7$$

Nalutas na ang system.

$$y=7,x=10$$