Lutasin ang {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3y+2x=75$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-2x+75$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

I-substitute ang -\frac{2x}{3}+25 para sa y sa kabilang equation na y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

Idagdag ang -\frac{2x}{3} sa x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}x=25$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=75$$

I-substitute ang 75 para sa x sa y=-\frac{2}{3}x+25. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times 75.

$$y=-50+25$$

Idagdag ang 25 sa -50.

$$y=-25$$

Nalutas na ang system.

$$y=-25,x=75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-25,x=75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Para gawing magkatumbas ang 3y at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Pasimplehin.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

I-subtract ang 3y+3x=150 mula sa 3y+2x=75 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-3x=75-150$$

Idagdag ang 2x sa -3x.

$$-x=75-150$$

Idagdag ang 75 sa -150.

$$-x=-75$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=75$$

I-substitute ang 75 para sa x sa y+x=50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+75=50$$

I-subtract ang 75 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-25$$

Nalutas na ang system.

$$y=-25,x=75$$