Lutasin ang {l}{3x-5y-4=0}{9x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 9 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-5y-4=0$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x-5y=4$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=5y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{5y+4}{3} para sa x sa kabilang equation na 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

I-multiply ang 9 times \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Idagdag ang 15y sa -2y.

$$13y+12=7$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$13y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

I-substitute ang -\frac{5}{13} para sa y sa x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times -\frac{5}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa -\frac{25}{39} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y+9\left(-4\right)=0,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$27x-45y-36=0,27x-6y=21$$

I-subtract ang 27x-6y=21 mula sa 27x-45y-36=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$27x-27x-45y+6y-36=-21$$

Idagdag ang 27x sa -27x. Naka-cancel out ang term na 27x at -27x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-45y+6y-36=-21$$

Idagdag ang -45y sa 6y.

$$-39y-36=-21$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-39y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

I-substitute ang -\frac{5}{13} para sa y sa 9x-2y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

I-multiply ang -2 times -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

I-subtract ang \frac{10}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\frac{81}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$