Lutasin ang {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-5y=-6$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=5y-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

I-substitute ang \frac{5y}{3}-2 para sa x sa kabilang equation na 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

I-multiply ang 2 times \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

Idagdag ang \frac{10y}{3} sa -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{5}{3}y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times -3.

$$x=-5-2$$

Idagdag ang -2 sa -5.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-7,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

I-subtract ang 6x-9y=-15 mula sa 6x-10y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y+9y=-12+15$$

Idagdag ang -10y sa 9y.

$$-y=-12+15$$

Idagdag ang -12 sa 15.

$$-y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa 2x-3y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

I-multiply ang -3 times -3.

$$2x+9=-5$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=-3$$