Lutasin ang {l}{3x-3y=5}{-4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 5 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-3y=5,-4x+y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-3y=5$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 3y+5.

$$x=y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang y+\frac{5}{3} para sa x sa kabilang equation na -4x+y=-3.

$$-4\left(y+\frac{5}{3}\right)+y=-3$$

I-multiply ang -4 times y+\frac{5}{3}.

$$-4y-\frac{20}{3}+y=-3$$

Idagdag ang -4y sa y.

$$-3y-\frac{20}{3}=-3$$

Idagdag ang \frac{20}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=\frac{11}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-\frac{11}{9}$$

I-substitute ang -\frac{11}{9} para sa y sa x=y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{11}{9}+\frac{5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa -\frac{11}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{11}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-3y=5,-4x+y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{4}{9}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\-\frac{4}{9}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{11}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{11}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-3y=5,-4x+y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-4\times 3x-4\left(-3\right)y=-4\times 5,3\left(-4\right)x+3y=3\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$-12x+12y=-20,-12x+3y=-9$$

I-subtract ang -12x+3y=-9 mula sa -12x+12y=-20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x+12y-3y=-20+9$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-3y=-20+9$$

Idagdag ang 12y sa -3y.

$$9y=-20+9$$

Idagdag ang -20 sa 9.

$$9y=-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=-\frac{11}{9}$$

I-substitute ang -\frac{11}{9} para sa y sa -4x+y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x-\frac{11}{9}=-3$$

Idagdag ang \frac{11}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-\frac{16}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{11}{9}$$