Lutasin ang {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=5$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{2y+5}{3} para sa x sa kabilang equation na -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

I-multiply ang -1 times \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Idagdag ang -\frac{5}{3} sa -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Idagdag ang \frac{20}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{47}{4}$$

I-substitute ang \frac{47}{4} para sa y sa x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{47}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa \frac{47}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{19}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Pasimplehin.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

I-subtract ang -3x+6y-15=27 mula sa -3x+2y=-5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Idagdag ang 2y sa -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Idagdag ang -5 sa -27.

$$-4y+15=-32$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=-47$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=\frac{47}{4}$$

I-substitute ang \frac{47}{4} para sa y sa -x+2y-5=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

I-multiply ang 2 times \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Idagdag ang \frac{47}{2} sa -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

I-subtract ang \frac{37}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=\frac{19}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$