Lutasin ang {l}{3x-2y=1/27}{2x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = \frac { 1 } { 27 } } \\ { 2 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{91}{99}\approx 0.919191919$$

$$y = \frac{404}{297} = 1\frac{107}{297} \approx 1.36026936$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=\frac{1}{27}$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y+\frac{1}{27}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+\frac{1}{27}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y+\frac{1}{27}.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}+\frac{1}{81} para sa x sa kabilang equation na 2x+6y=10.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}\right)+6y=10$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y}{3}+\frac{1}{81}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{2}{81}+6y=10$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa 6y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{2}{81}=10$$

I-subtract ang \frac{2}{81} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{22}{3}y=\frac{808}{81}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{22}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{404}{297}$$

I-substitute ang \frac{404}{297} para sa y sa x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{404}{297}+\frac{1}{81}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{404}{297} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{808}{891}+\frac{1}{81}$$

Idagdag ang \frac{1}{81} sa \frac{808}{891} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{91}{99}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{1}{11}\times 10\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{3}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{99}\\\frac{404}{297}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times \frac{1}{27},3\times 2x+3\times 6y=3\times 10$$

Pasimplehin.

$$6x-4y=\frac{2}{27},6x+18y=30$$

I-subtract ang 6x+18y=30 mula sa 6x-4y=\frac{2}{27} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Idagdag ang -4y sa -18y.

$$-22y=\frac{2}{27}-30$$

Idagdag ang \frac{2}{27} sa -30.

$$-22y=-\frac{808}{27}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=\frac{404}{297}$$

I-substitute ang \frac{404}{297} para sa y sa 2x+6y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+6\times \frac{404}{297}=10$$

I-multiply ang 6 times \frac{404}{297}.

$$2x+\frac{808}{99}=10$$

I-subtract ang \frac{808}{99} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{182}{99}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{91}{99}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$