Lutasin ang {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x-2y=-3$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}-1 para sa x sa kabilang equation na 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

I-multiply ang 4 times \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Idagdag ang \frac{8y}{3} sa 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Idagdag ang -4 sa -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Idagdag ang 51 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{3}y=51$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa x=\frac{2}{3}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 9.

$$x=6-1$$

Idagdag ang -1 sa 6.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Pasimplehin.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

I-subtract ang 12x+9y-141=0 mula sa 12x-8y+12=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Idagdag ang -8y sa -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Idagdag ang 12 sa 141.

$$-17y+153=0$$

I-subtract ang 153 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-17y=-153$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa 4x+3y-47=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+3\times 9-47=0$$

I-multiply ang 3 times 9.

$$4x+27-47=0$$

Idagdag ang 27 sa -47.

$$4x-20=0$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=9$$