Lutasin ang {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-13+y=0$$

Idagdag ang 13 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x+y=13$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=13$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y+13}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

I-multiply ang 2 times \frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

I-subtract ang \frac{26}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{25}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Idagdag ang \frac{13}{3} sa \frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-13+y=0$$

Idagdag ang 13 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x+y=13$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-13+y=0$$

Idagdag ang 13 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x+y=13$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Pasimplehin.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

I-subtract ang 6x+27y=-24 mula sa 6x+2y=26 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-27y=26+24$$

Idagdag ang 2y sa -27y.

$$-25y=26+24$$

Idagdag ang 26 sa 24.

$$-25y=50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -25.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 2x+9y=-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

I-multiply ang 9 times -2.

$$2x-18=-8$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-2$$