Lutasin ang {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y+5}{3} para sa x sa kabilang equation na 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

I-multiply ang 7 times \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

Idagdag ang -\frac{7y}{3} sa y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

I-subtract ang \frac{35}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{17}{4}$$

I-substitute ang \frac{17}{4} para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times \frac{17}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa -\frac{17}{12} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

I-subtract ang 7x+y=6 mula sa 3x+y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x-7x=5-6$$

Idagdag ang 3x sa -7x.

$$-4x=5-6$$

Idagdag ang 5 sa -6.

$$-4x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1}{4} para sa x sa 7x+y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

I-multiply ang 7 times \frac{1}{4}.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

I-subtract ang \frac{7}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{17}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$