Lutasin ang {l}{3x+y=5}{4x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=5,4x+3y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y+5}{3} para sa x sa kabilang equation na 4x+3y=5.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+3y=5$$

I-multiply ang 4 times \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}+3y=5$$

Idagdag ang -\frac{4y}{3} sa 3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

I-subtract ang \frac{20}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{3}y=-\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -1.

$$x=\frac{1+5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa \frac{1}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=5,4x+3y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4}&-\frac{1}{3\times 3-4}\\-\frac{4}{3\times 3-4}&\frac{3}{3\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 5\\-\frac{4}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=5,4x+3y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4y=4\times 5,3\times 4x+3\times 3y=3\times 5$$

Pasimplehin.

$$12x+4y=20,12x+9y=15$$

I-subtract ang 12x+9y=15 mula sa 12x+4y=20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+4y-9y=20-15$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-9y=20-15$$

Idagdag ang 4y sa -9y.

$$-5y=20-15$$

Idagdag ang 20 sa -15.

$$-5y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 4x+3y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+3\left(-1\right)=5$$

I-multiply ang 3 times -1.

$$4x-3=5$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$