Lutasin ang {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+7y=10$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-7y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

I-substitute ang \frac{-7y+10}{3} para sa x sa kabilang equation na 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

I-multiply ang 4 times \frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

Idagdag ang -\frac{28y}{3} sa -19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

I-subtract ang \frac{40}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{85}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{19}{85}$$

I-substitute ang \frac{19}{85} para sa y sa x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

I-multiply ang -\frac{7}{3} times \frac{19}{85} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa -\frac{133}{255} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{239}{85}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

I-subtract ang 12x-57y=21 mula sa 12x+28y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$28y+57y=40-21$$

Idagdag ang 28y sa 57y.

$$85y=40-21$$

Idagdag ang 40 sa -21.

$$85y=19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 85.

$$y=\frac{19}{85}$$

I-substitute ang \frac{19}{85} para sa y sa 4x-19y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

I-multiply ang -19 times \frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Idagdag ang \frac{361}{85} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{956}{85}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{239}{85}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$