Lutasin ang {l}{3x+5y=10}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=10$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y+10.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5y+10}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x-y=5.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

I-multiply ang 2 times \frac{-5y+10}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

Idagdag ang -\frac{10y}{3} sa -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

I-subtract ang \frac{20}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{13}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{5}{13}$$

I-substitute ang \frac{5}{13} para sa y sa x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times \frac{5}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa -\frac{25}{39} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{35}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Pasimplehin.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

I-subtract ang 6x-3y=15 mula sa 6x+10y=20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y+3y=20-15$$

Idagdag ang 10y sa 3y.

$$13y=20-15$$

Idagdag ang 20 sa -15.

$$13y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$y=\frac{5}{13}$$

I-substitute ang \frac{5}{13} para sa y sa 2x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Idagdag ang \frac{5}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{70}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{35}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$