Lutasin ang {l}{3x+5y=1}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=1,x+y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5y+1}{3} para sa x sa kabilang equation na x+y=2.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}+y=2$$

Idagdag ang -\frac{5y}{3} sa y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=2$$

I-subtract ang \frac{1}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{5}{2}$$

I-substitute ang -\frac{5}{2} para sa y sa x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times -\frac{5}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{25}{6}+\frac{1}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa \frac{25}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=1,x+y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=1,x+y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3x+5y=1,3x+3y=3\times 2$$

Pasimplehin.

$$3x+5y=1,3x+3y=6$$

I-subtract ang 3x+3y=6 mula sa 3x+5y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+5y-3y=1-6$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-3y=1-6$$

Idagdag ang 5y sa -3y.

$$2y=1-6$$

Idagdag ang 1 sa -6.

$$2y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-\frac{5}{2}$$

I-substitute ang -\frac{5}{2} para sa y sa x+y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\frac{5}{2}=2$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{5}{2}$$