Lutasin ang {l}{3x+4y=6}{6x+1y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 6 } \\ { 6 x + 1 y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{10}{21}\approx 0.476190476$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=6$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+6.

$$x=-\frac{4}{3}y+2$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}+2 para sa x sa kabilang equation na 6x+y=4.

$$6\left(-\frac{4}{3}y+2\right)+y=4$$

I-multiply ang 6 times -\frac{4y}{3}+2.

$$-8y+12+y=4$$

Idagdag ang -8y sa y.

$$-7y+12=4$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{8}{7}$$

I-substitute ang \frac{8}{7} para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{7}+2$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{8}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{32}{21}+2$$

Idagdag ang 2 sa -\frac{32}{21}.

$$x=\frac{10}{21}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 6}&-\frac{4}{3-4\times 6}\\-\frac{6}{3-4\times 6}&\frac{3}{3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{21}\times 6+\frac{4}{21}\times 4\\\frac{2}{7}\times 6-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$6\times 3x+6\times 4y=6\times 6,3\times 6x+3y=3\times 4$$

Pasimplehin.

$$18x+24y=36,18x+3y=12$$

I-subtract ang 18x+3y=12 mula sa 18x+24y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+24y-3y=36-12$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$24y-3y=36-12$$

Idagdag ang 24y sa -3y.

$$21y=36-12$$

Idagdag ang 36 sa -12.

$$21y=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 21.

$$y=\frac{8}{7}$$

I-substitute ang \frac{8}{7} para sa y sa 6x+y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+\frac{8}{7}=4$$

I-subtract ang \frac{8}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=\frac{20}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{10}{21}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$