Lutasin ang {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=3$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}+1 para sa x sa kabilang equation na 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

I-multiply ang 8 times -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

Idagdag ang -\frac{32y}{3} sa 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{18}{11}$$

I-substitute ang -\frac{18}{11} para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -\frac{18}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Pasimplehin.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

I-subtract ang 24x+21y=42 mula sa 24x+32y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

Idagdag ang 24x sa -24x. Naka-cancel out ang term na 24x at -24x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$32y-21y=24-42$$

Idagdag ang 32y sa -21y.

$$11y=24-42$$

Idagdag ang 24 sa -42.

$$11y=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

I-substitute ang -\frac{18}{11} para sa y sa 8x+7y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

I-multiply ang 7 times -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Idagdag ang \frac{126}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=\frac{280}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{35}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$