Lutasin ang {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=28$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

I-substitute ang \frac{-4y+28}{3} para sa x sa kabilang equation na 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

I-multiply ang 9 times \frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Idagdag ang -12y sa -6y.

$$-18y+84=8$$

I-subtract ang 84 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-18y=-76$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18.

$$y=\frac{38}{9}$$

I-substitute ang \frac{38}{9} para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{38}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Idagdag ang \frac{28}{3} sa -\frac{152}{27} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{100}{27}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Pasimplehin.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

I-subtract ang 27x-18y=24 mula sa 27x+36y=252 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Idagdag ang 27x sa -27x. Naka-cancel out ang term na 27x at -27x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y+18y=252-24$$

Idagdag ang 36y sa 18y.

$$54y=252-24$$

Idagdag ang 252 sa -24.

$$54y=228$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 54.

$$y=\frac{38}{9}$$

I-substitute ang \frac{38}{9} para sa y sa 9x-6y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

I-multiply ang -6 times \frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Idagdag ang \frac{76}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\frac{100}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{100}{27}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$