Lutasin ang {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=1$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{-4y+1}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

I-multiply ang 2 times \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

Idagdag ang -\frac{8y}{3} sa 3y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

I-subtract ang \frac{2}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -5.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa \frac{20}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

I-subtract ang 6x+9y=-3 mula sa 6x+8y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-9y=2+3$$

Idagdag ang 8y sa -9y.

$$-y=2+3$$

Idagdag ang 2 sa 3.

$$-y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa 2x+3y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

I-multiply ang 3 times -5.

$$2x-15=-1$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=-5$$