Lutasin ang {l}{3x+4y+m=0}{9x^2+16y^2=144}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + m = 0 } \\ { 9 x ^ { 2 } + 16 y ^ { 2 } = 144 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

I-solve ang 3x+4y+m=0 para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang panig ng equal sign.

$$3x+4y+m=0$$

I-subtract ang m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+4y=-m$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y-m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

I-substitute ang -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} para sa x sa kabilang equation na 16y^{2}+9x^{2}=144.

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

I-square ang -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}.

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

I-multiply ang 9 times \frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}.

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Idagdag ang 16y^{2} sa 16y^{2}.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

I-subtract ang 144 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} para sa a, 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right) para sa b, at -144+m^{2} para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-square ang 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right).

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-multiply ang -4 times 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-multiply ang -128 times -144+m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

Idagdag ang 64m^{2} sa 18432-128m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

Kunin ang square root ng 18432-64m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

I-multiply ang 2 times 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -8m sa 8\sqrt{288-m^{2}}.

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

I-divide ang -8m+8\sqrt{288-m^{2}} gamit ang 64.

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 8\sqrt{288-m^{2}} mula sa -8m.

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

I-divide ang -8m-8\sqrt{288-m^{2}} gamit ang 64.

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

May dalawang solution para sa y: \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} at \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}. I-substitute ang \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} para sa y sa equation na x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Ngayon, i-substitute ang \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} para sa y sa equation na x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}.

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{, }|m|\leq 12\sqrt{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y+m=0,16y^{2}+9x^{2}=144$$

I-solve ang 3x+4y+m=0 para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang panig ng equal sign.

$$3x+4y+m=0$$

I-subtract ang m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+4y=-m$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y-m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

I-substitute ang -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} para sa x sa kabilang equation na 16y^{2}+9x^{2}=144.

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

I-square ang -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}.

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

I-multiply ang 9 times \frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}.

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Idagdag ang 16y^{2} sa 16y^{2}.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

I-subtract ang 144 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} para sa a, 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right) para sa b, at -144+m^{2} para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-square ang 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right).

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-multiply ang -4 times 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

I-multiply ang -128 times -144+m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

Idagdag ang 64m^{2} sa 18432-128m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

Kunin ang square root ng 18432-64m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

I-multiply ang 2 times 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -8m sa 8\sqrt{288-m^{2}}.

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

I-divide ang -8m+8\sqrt{288-m^{2}} gamit ang 64.

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 8\sqrt{288-m^{2}} mula sa -8m.

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

I-divide ang -8m-8\sqrt{288-m^{2}} gamit ang 64.

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

May dalawang solution para sa y: \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} at \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}. I-substitute ang \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} para sa y sa equation na x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Ngayon, i-substitute ang \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} para sa y sa equation na x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}.

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$