Lutasin ang {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=87$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+87$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

I-substitute ang -\frac{2y}{3}+29 para sa x sa kabilang equation na 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

I-multiply ang 5 times -\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

Idagdag ang -\frac{10y}{3} sa 6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

I-subtract ang 145 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{8}{3}y=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{63}{4}$$

I-substitute ang \frac{63}{4} para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+29. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{63}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

Idagdag ang 29 sa -\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Pasimplehin.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

I-subtract ang 15x+18y=561 mula sa 15x+10y=435 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y-18y=435-561$$

Idagdag ang 10y sa -18y.

$$-8y=435-561$$

Idagdag ang 435 sa -561.

$$-8y=-126$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=\frac{63}{4}$$

I-substitute ang \frac{63}{4} para sa y sa 5x+6y=187. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

I-multiply ang 6 times \frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

I-subtract ang \frac{189}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{185}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{37}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$