Lutasin ang {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=4$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2y+4}{3} para sa x sa kabilang equation na 6x+3y=10.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

I-multiply ang 6 times \frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8+3y=10$$

Idagdag ang -4y sa 3y.

$$-y+8=10$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times -2.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa \frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

Pasimplehin.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

I-subtract ang 18x+9y=30 mula sa 18x+12y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-9y=24-30$$

Idagdag ang 12y sa -9y.

$$3y=24-30$$

Idagdag ang 24 sa -30.

$$3y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 6x+3y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$6x-6=10$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$