Lutasin ang {l}{3x+2y=10}{7x-y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - y = 29 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=10$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2y+10}{3} para sa x sa kabilang equation na 7x-y=29.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=29$$

I-multiply ang 7 times \frac{-2y+10}{3}.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-y=29$$

Idagdag ang -\frac{14y}{3} sa -y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{70}{3}=29$$

I-subtract ang \frac{70}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{17}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{10}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times -1.

$$x=\frac{2+10}{3}$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa \frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-1\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 10+\frac{2}{17}\times 29\\\frac{7}{17}\times 10-\frac{3}{17}\times 29\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 29$$

Pasimplehin.

$$21x+14y=70,21x-3y=87$$

I-subtract ang 21x-3y=87 mula sa 21x+14y=70 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$21x-21x+14y+3y=70-87$$

Idagdag ang 21x sa -21x. Naka-cancel out ang term na 21x at -21x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$14y+3y=70-87$$

Idagdag ang 14y sa 3y.

$$17y=70-87$$

Idagdag ang 70 sa -87.

$$17y=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 7x-y=29. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x-\left(-1\right)=29$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-1$$