Lutasin ang {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa w sa pamamagitan ng pag-isolate sa w sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3w-2z=5$$

Idagdag ang 2z sa magkabilang dulo ng equation.

$$3w=2z+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{2z+5}{3} para sa w sa kabilang equation na w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Idagdag ang \frac{2z}{3} sa 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

I-subtract ang \frac{5}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$z=5$$

I-substitute ang 5 para sa z sa w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa \frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$w=5$$

Nalutas na ang system.

$$w=5,z=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na w at z.

$$w=5,z=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Para gawing magkatumbas ang 3w at w, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Pasimplehin.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

I-subtract ang 3w+6z=45 mula sa 3w-2z=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Idagdag ang 3w sa -3w. Naka-cancel out ang term na 3w at -3w ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2z-6z=5-45$$

Idagdag ang -2z sa -6z.

$$-8z=5-45$$

Idagdag ang 5 sa -45.

$$-8z=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$z=5$$

I-substitute ang 5 para sa z sa w+2z=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$w+2\times 5=15$$

I-multiply ang 2 times 5.

$$w+10=15$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$w=5$$

Nalutas na ang system.

$$w=5,z=5$$