Lutasin ang {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa u sa pamamagitan ng pag-isolate sa u sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3u+5x=8$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3u=-5x+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5x+8}{3} para sa u sa kabilang equation na 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

I-multiply ang 5 times \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Idagdag ang -\frac{25x}{3} sa 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

I-subtract ang \frac{40}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{10}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{1}{5}$$

I-substitute ang -\frac{1}{5} para sa x sa u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times -\frac{1}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Idagdag ang \frac{8}{3} sa \frac{1}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$u=3$$

Nalutas na ang system.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na u at x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

I-subtract ang 5u+5x=14 mula sa 3u+5x=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3u-5u=8-14$$

Idagdag ang 3u sa -5u.

$$-2u=8-14$$

Idagdag ang 8 sa -14.

$$-2u=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$u=3$$

I-substitute ang 3 para sa u sa 5u+5x=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5\times 3+5x=14$$

I-multiply ang 5 times 3.

$$15+5x=14$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$