Lutasin ang {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa t sa pamamagitan ng pag-isolate sa t sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3t-2u=7$$

Idagdag ang 2u sa magkabilang dulo ng equation.

$$3t=2u+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2u+7.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{2u+7}{3} para sa t sa kabilang equation na 9t-5u=18.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

I-multiply ang 9 times \frac{2u+7}{3}.

$$6u+21-5u=18$$

Idagdag ang 6u sa -5u.

$$u+21=18$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$u=-3$$

I-substitute ang -3 para sa u sa t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang t nang direkta.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times -3.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Idagdag ang \frac{7}{3} sa -2.

$$t=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na t at u.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Para gawing magkatumbas ang 3t at 9t, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Pasimplehin.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

I-subtract ang 27t-15u=54 mula sa 27t-18u=63 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Idagdag ang 27t sa -27t. Naka-cancel out ang term na 27t at -27t ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-18u+15u=63-54$$

Idagdag ang -18u sa 15u.

$$-3u=63-54$$

Idagdag ang 63 sa -54.

$$-3u=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$u=-3$$

I-substitute ang -3 para sa u sa 9t-5u=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang t nang direkta.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

I-multiply ang -5 times -3.

$$9t+15=18$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9t=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$t=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$