Lutasin ang {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa c sa pamamagitan ng pag-isolate sa c sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3c+5z=-15$$

I-subtract ang 5z mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3c=-5z-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

I-substitute ang -\frac{5z}{3}-5 para sa c sa kabilang equation na 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

I-multiply ang 5 times -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Idagdag ang -\frac{25z}{3} sa 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Idagdag ang 25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{16}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$z=-3$$

I-substitute ang -3 para sa z sa c=-\frac{5}{3}z-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang c nang direkta.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times -3.

$$c=5-5$$

Idagdag ang -5 sa 5.

$$c=0$$

Nalutas na ang system.

$$c=0,z=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na c at z.

$$c=0,z=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Para gawing magkatumbas ang 3c at 5c, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Pasimplehin.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

I-subtract ang 15c+9z=-27 mula sa 15c+25z=-75 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Idagdag ang 15c sa -15c. Naka-cancel out ang term na 15c at -15c ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$25z-9z=-75+27$$

Idagdag ang 25z sa -9z.

$$16z=-75+27$$

Idagdag ang -75 sa 27.

$$16z=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$z=-3$$

I-substitute ang -3 para sa z sa 5c+3z=-9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang c nang direkta.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

I-multiply ang 3 times -3.

$$5c-9=-9$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5c=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$c=0$$

Nalutas na ang system.

$$c=0,z=-3$$