Lutasin ang {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa c sa pamamagitan ng pag-isolate sa c sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3c+2x=5$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3c=-2x+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2x+5}{3} para sa c sa kabilang equation na 2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

I-multiply ang 2 times \frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

Idagdag ang -\frac{4x}{3} sa 4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

I-subtract ang \frac{10}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang c nang direkta.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$c=1$$

Nalutas na ang system.

$$c=1,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na c at x.

$$c=1,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Para gawing magkatumbas ang 3c at 2c, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

Pasimplehin.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

I-subtract ang 6c+12x=18 mula sa 6c+4x=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

Idagdag ang 6c sa -6c. Naka-cancel out ang term na 6c at -6c ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4x-12x=10-18$$

Idagdag ang 4x sa -12x.

$$-8x=10-18$$

Idagdag ang 10 sa -18.

$$-8x=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa 2c+4x=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang c nang direkta.

$$2c+4=6$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2c=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$c=1$$

Nalutas na ang system.

$$c=1,x=1$$