Lutasin ang {l}{3a+b=9}{a+b=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = 9 } \\ { a + b = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=3$$

$$b=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3a+b=9,a+b=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3a+b=9$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-b+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -b+9.

$$a=-\frac{1}{3}b+3$$

I-substitute ang -\frac{b}{3}+3 para sa a sa kabilang equation na a+b=3.

$$-\frac{1}{3}b+3+b=3$$

Idagdag ang -\frac{b}{3} sa b.

$$\frac{2}{3}b+3=3$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}b=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=0$$

I-substitute ang 0 para sa b sa a=-\frac{1}{3}b+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3a+b=9,a+b=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=3,b=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3a+b=9,a+b=3$$

I-subtract ang a+b=3 mula sa 3a+b=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3a-a+b-b=9-3$$

Idagdag ang b sa -b. Naka-cancel out ang term na b at -b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3a-a=9-3$$

Idagdag ang 3a sa -a.

$$2a=9-3$$

Idagdag ang 9 sa -3.

$$2a=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=3$$

I-substitute ang 3 para sa a sa a+b=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$3+b=3$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=0$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=0$$