Lutasin ang {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3a+b=-3$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-b-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

I-substitute ang -\frac{b}{3}-1 para sa a sa kabilang equation na 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

I-multiply ang 2 times -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Idagdag ang -\frac{2b}{3} sa -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa b sa a=-\frac{1}{3}b-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -\frac{3}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Idagdag ang -1 sa \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 3a at 2a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

I-subtract ang 6a-3b=-3 mula sa 6a+2b=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Idagdag ang 6a sa -6a. Naka-cancel out ang term na 6a at -6a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2b+3b=-6+3$$

Idagdag ang 2b sa 3b.

$$5b=-6+3$$

Idagdag ang -6 sa 3.

$$5b=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa b sa 2a-b=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

I-subtract ang \frac{3}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$