Lutasin ang {l}{3a+2b=2}{-2a+3b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 2 } \\ { - 2 a + 3 b = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$b=\frac{10}{13}\approx 0.769230769$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3a+2b=2$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-2b+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2b+2.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2b+2}{3} para sa a sa kabilang equation na -2a+3b=2.

$$-2\left(-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}\right)+3b=2$$

I-multiply ang -2 times \frac{-2b+2}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}+3b=2$$

Idagdag ang \frac{4b}{3} sa 3b.

$$\frac{13}{3}b-\frac{4}{3}=2$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{3}b=\frac{10}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{10}{13}$$

I-substitute ang \frac{10}{13} para sa b sa a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{10}{13}+\frac{2}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{10}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-\frac{20}{39}+\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa -\frac{20}{39} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{2}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 2\\\frac{2}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Para gawing magkatumbas ang 3a at -2a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-2\times 3a-2\times 2b=-2\times 2,3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\times 2$$

Pasimplehin.

$$-6a-4b=-4,-6a+9b=6$$

I-subtract ang -6a+9b=6 mula sa -6a-4b=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6a+6a-4b-9b=-4-6$$

Idagdag ang -6a sa 6a. Naka-cancel out ang term na -6a at 6a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4b-9b=-4-6$$

Idagdag ang -4b sa -9b.

$$-13b=-4-6$$

Idagdag ang -4 sa -6.

$$-13b=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$b=\frac{10}{13}$$

I-substitute ang \frac{10}{13} para sa b sa -2a+3b=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$-2a+3\times \frac{10}{13}=2$$

I-multiply ang 3 times \frac{10}{13}.

$$-2a+\frac{30}{13}=2$$

I-subtract ang \frac{30}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2a=-\frac{4}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$a=\frac{2}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$