Lutasin ang {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

I-solve ang A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa A sa pamamagitan ng pag-isolate sa A sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3A-13c=-255$$

Idagdag ang 13c sa magkabilang dulo ng equation.

$$3A=13c-255$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

I-substitute ang \frac{13c}{3}-85 para sa A sa kabilang equation na 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

I-multiply ang 31 times \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Idagdag ang \frac{403c}{3} sa -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Idagdag ang 2635 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{385}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$c=\frac{1473}{77}$$

I-substitute ang \frac{1473}{77} para sa c sa A=\frac{13}{3}c-85. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

I-multiply ang \frac{13}{3} times \frac{1473}{77} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Idagdag ang -85 sa \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Nalutas na ang system.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na A at c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Para gawing magkatumbas ang 3A at 31A, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 31 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Pasimplehin.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

I-subtract ang 93A-18c=-540 mula sa 93A-403c=-7905 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Idagdag ang 93A sa -93A. Naka-cancel out ang term na 93A at -93A ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Idagdag ang -403c sa 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Idagdag ang -7905 sa 540.

$$-385c=-7365$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

I-substitute ang \frac{1473}{77} para sa c sa 31A-6c=-180. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

I-multiply ang -6 times \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Idagdag ang \frac{8838}{77} sa magkabilang dulo ng equation.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Nalutas na ang system.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$