Lutasin ang {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$25x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{25} times -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

I-substitute ang \frac{-y+9}{25} para sa x sa kabilang equation na 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

I-multiply ang 1.6 times \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Idagdag ang -\frac{8y}{125} sa \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

I-subtract ang \frac{72}{125} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{125}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1553}{17}$$

I-substitute ang \frac{1553}{17} para sa y sa x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

I-multiply ang -\frac{1}{25} times \frac{1553}{17} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Idagdag ang \frac{9}{25} sa -\frac{1553}{425} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Para gawing magkatumbas ang 25x at \frac{8x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1.6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Pasimplehin.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

I-subtract ang 40x+5y=325 mula sa 40x+1.6y=14.4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Idagdag ang 40x sa -40x. Naka-cancel out ang term na 40x at -40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Idagdag ang \frac{8y}{5} sa -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Idagdag ang 14.4 sa -325.

$$-3.4y=-310.6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.4, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1553}{17}$$

I-substitute ang \frac{1553}{17} para sa y sa 1.6x+0.2y=13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

I-multiply ang 0.2 times \frac{1553}{17} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

I-subtract ang \frac{1553}{85} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1.6, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$