Lutasin ang {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2.5x+2.5y=17$$

I-subtract ang \frac{5y}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2.5x=-2.5y+17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

I-multiply ang 0.4 times -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

I-substitute ang -y+6.8 para sa x sa kabilang equation na -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

I-multiply ang -1.5 times -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Idagdag ang 10.2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6y=-22.8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=3.8$$

I-substitute ang 3.8 para sa y sa x=-y+6.8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3.8+6.8$$

I-multiply ang -1 times 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Idagdag ang 6.8 sa -3.8 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=3.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{5x}{2} at -\frac{3x}{2}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1.5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Pasimplehin.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

I-subtract ang -3.75x-18.75y=-82.5 mula sa -3.75x-3.75y=-25.5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Idagdag ang -\frac{15x}{4} sa \frac{15x}{4}. Naka-cancel out ang term na -\frac{15x}{4} at \frac{15x}{4} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Idagdag ang -\frac{15y}{4} sa \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Idagdag ang -25.5 sa 82.5 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$15y=57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=\frac{19}{5}$$

I-substitute ang \frac{19}{5} para sa y sa -1.5x-7.5y=-33. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

I-multiply ang -7.5 times \frac{19}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Idagdag ang \frac{57}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$