Lutasin ang {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2y-3x=-27$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=3x-27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

I-substitute ang \frac{-27+3x}{2} para sa y sa kabilang equation na 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

I-multiply ang 5 times \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Idagdag ang \frac{15x}{2} sa 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Idagdag ang \frac{135}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{21}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Idagdag ang -\frac{27}{2} sa \frac{21}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-3,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Para gawing magkatumbas ang 2y at 5y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Pasimplehin.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

I-subtract ang 10y+6x=12 mula sa 10y-15x=-135 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Idagdag ang 10y sa -10y. Naka-cancel out ang term na 10y at -10y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15x-6x=-135-12$$

Idagdag ang -15x sa -6x.

$$-21x=-135-12$$

Idagdag ang -135 sa -12.

$$-21x=-147$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -21.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa 5y+3x=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$5y+3\times 7=6$$

I-multiply ang 3 times 7.

$$5y+21=6$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=7$$