Lutasin ang {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x_{1} sa pamamagitan ng pag-isolate sa x_{1} sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

I-subtract ang 3x_{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3x_{2}+7}{2} para sa x_{1} sa kabilang equation na 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

I-multiply ang 4 times \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Idagdag ang -6x_{2} sa -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x_{2}=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x_{2}=2$$

I-substitute ang 2 para sa x_{2} sa x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{1} nang direkta.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x_{1} at x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Para gawing magkatumbas ang 2x_{1} at 4x_{1}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Pasimplehin.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

I-subtract ang 8x_{1}-8x_{2}=-12 mula sa 8x_{1}+12x_{2}=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Idagdag ang 8x_{1} sa -8x_{1}. Naka-cancel out ang term na 8x_{1} at -8x_{1} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Idagdag ang 12x_{2} sa 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Idagdag ang 28 sa 12.

$$20x_{2}=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$x_{2}=2$$

I-substitute ang 2 para sa x_{2} sa 4x_{1}-4x_{2}=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{1} nang direkta.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x_{1}=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$