Lutasin ang {l}{2x-y=5}{3x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-y=5$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{5+y}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+4y=2$$

I-multiply ang 3 times \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+4y=2$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Pasimplehin.

$$6x-3y=15,6x+8y=4$$

I-subtract ang 6x+8y=4 mula sa 6x-3y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-3y-8y=15-4$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-8y=15-4$$

Idagdag ang -3y sa -8y.

$$-11y=15-4$$

Idagdag ang 15 sa -4.

$$-11y=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 3x+4y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\left(-1\right)=2$$

I-multiply ang 4 times -1.

$$3x-4=2$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$