Lutasin ang {l}{2x-y=0}{5x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 0 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-y=0$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}y$$

I-substitute ang \frac{y}{2} para sa x sa kabilang equation na 5x-2y=1.

$$5\times \frac{1}{2}y-2y=1$$

I-multiply ang 5 times \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{2}y-2y=1$$

Idagdag ang \frac{5y}{2} sa -2y.

$$\frac{1}{2}y=1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=\frac{1}{2}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times 2$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 2.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=0,2\times 5x+2\left(-2\right)y=2$$

Pasimplehin.

$$10x-5y=0,10x-4y=2$$

I-subtract ang 10x-4y=2 mula sa 10x-5y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x-5y+4y=-2$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-5y+4y=-2$$

Idagdag ang -5y sa 4y.

$$-y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 5x-2y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-2\times 2=1$$

I-multiply ang -2 times 2.

$$5x-4=1$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$