Lutasin ang {l}{2x-5y=4}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-5y=4$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=5y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

I-substitute ang \frac{5y}{2}+2 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=8$$

I-multiply ang 3 times \frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=8$$

Idagdag ang \frac{15y}{2} sa 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=8$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{2}y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{4}{19}$$

I-substitute ang \frac{4}{19} para sa y sa x=\frac{5}{2}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{4}{19}+2$$

I-multiply ang \frac{5}{2} times \frac{4}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{10}{19}+2$$

Idagdag ang 2 sa \frac{10}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 8\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

Pasimplehin.

$$6x-15y=12,6x+4y=16$$

I-subtract ang 6x+4y=16 mula sa 6x-15y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-15y-4y=12-16$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-4y=12-16$$

Idagdag ang -15y sa -4y.

$$-19y=12-16$$

Idagdag ang 12 sa -16.

$$-19y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=\frac{4}{19}$$

I-substitute ang \frac{4}{19} para sa y sa 3x+2y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{4}{19}=8$$

I-multiply ang 2 times \frac{4}{19}.

$$3x+\frac{8}{19}=8$$

I-subtract ang \frac{8}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{144}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{48}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$